Zad. 1.

$[\vec{a}] = \begin{bmatrix} 0& -a_3& a_2 \\ a_3& 0& -a_1 \\ -a_2& a_1& 0 \end{bmatrix}$ $\textcolor{red}{(1)\ \ [\vec{a}]\vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}}

= \begin{bmatrix} 0& -a_3& a_2 \\ a_3& 0& -a_1 \\ -a_2& a_1& 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -a_3b_2+a_2b_3\\ a_3b_1-a_1b_3\\ -a_2b_1+a_1b_2 \end{pmatrix} =

\vec{i} \left( a_2 b_3 - a_3 b_2 \right) - \vec{j} \left( a_1 b_3 - a_3 b_1 \right) + \vec{k} \left( a_1 b_2 - a_2 b_1 \right)

\left|\begin{matrix} \vec{i}& \vec{j}& \vec{k} \\ a_1& a_2 & a_3 \\ b_1& b_2& b_3 \end{matrix}\right|

=\mathbf{\vec{a}} \times \mathbf{\vec{b}}$

R → Macierz obrotu, każda macierz obrotu spełnia:

1. Ortogonalność,

2. Nie zmienia długości wektorów

3. $\det(R) = 1$,

4. $||Rv||=||v||$ (norma$||v||$, długość wektora),

5. $R^{\theta[\hat{\omega}]}$, $\theta \to$ Kąt obrotu, $\hat\omega \to$ Wektor osi obrotu $\hat\omega = \frac{\omega}{|\omega|}$ $\omega \to \text{pełny wektor prędkości kątowej, który ma zarówno kierunek, jak i wartość (moduł):} \
   \omega = |\omega| \text{czyli wartość prędkości kątowej} \\\hat{\omega}

   \to \text{ to jednostkowy wektor kierunku osi obrotu. }

   \hat{\omega} = \frac{\omega}{|\omega|} \\

   \omega_s \text{ i } \omega_B \to\text{ wektory prędkości kątowej odpowiednio w układzie inercjalnym (stacjonarnym) i układzie związanym z bryłą: }\\

   \omega_s = |\omega_s| \hat{\omega}_s \quad \text{ oraz } \omega_B = |\omega_B|\hat{\omega}_B\\$

6. Iloczyn skalarny $(R\vec a)\cdot(R\vec b) =\vec a\cdot \vec b$.

7. Iloczyn wektorowy $\textcolor{red}{R(\vec a \times \vec b) = (R \vec a) \times (R \vec b)\ \ (2)}$. To wynika z tego że z iloczyn wektorowy zwraca wektor prostopadły do dwóch go tworzących. Ponieważ iloczyn wektora i macierzy obrotu zachowuje długość wektora i obraca go o konkretny kąt, to iloczyn wektorowy dwóch wektorów obróconych o ten sam kąt będzie równy iloczynowi wektorowemu dwóch wektorów nie obróconych, ale pomnożonemu przez obrót.

Rozwiązanie zadania 1..

$R[\omega]R^T \overset{?}{=} [R\omega] \to$ Udowodnić.

$R[\omega]\left( R^T\cdot v \right) \overset{\textcolor{red}{(1)}}{=} R\cdot \left( \omega \times \left( R^T\cdot v \right) \right) \overset{\textcolor{red}{(2)}}{=} R\omega \times RR^Tv = R\omega\times v \overset{\textcolor{red}{(1)}}{=} [R\omega]v$

$R[\omega]\left( R^T\cdot v \right) = [R\omega]v$

$R[\omega] R^T = [R\omega]$

Prawda. [//]